贴现现金流估值（一）：现金流基础计算、年金现值公式和年金终值公式

贴现现金流估值（一）

名词解释

1. 现金流：(Cash Flows)，在投资中现金流动情况
2. 年金：(Annuity)，等额，定期的系列收支，例如：房租、水电、工资（假设没有价钱变化的情况）

在现金流的情况下计算未来价值

例题

2.1.1假设，你今天投资了$100，它的利率是每年8$100。那么两年后你将得到多少？

因为涉及到不同时间投入不同的资金，所以建议画一个时间轴

在刚开始的时候（0点）投入100，经过1年，来到1点，这个时候先是100的”单利“情况，然后是又投入了 100，此时1点一共是$100 \times 8\% + 100+ 100= 208$,然后在这个总的208的基础上在进行一次”单利“的例子$208 \times (1+8 \%) = 224.64$

2.1.2 你认为你将要在接下来的三年内每年年末都投资￥4000，以每年8%的利率。你目前拥有￥7000，三年时你将得到多少？四年呢？

除了2.1的解法，第二种解法是

首先看￥7000这个资金，它的经历是

$$7000 \times (1+8 \%)^3$$ $$7000 \times (1+8\%)^4$$

然后是第一年年末的￥4000，它的经历是

$$4000 \times(1+8 \%)^2$$ $$4000 \times(1+8 \%)^3$$

然后是第二年年末的￥4000，它的经历是

$$4000 \times(1+8 \%)^1$$ $$4000 \times(1+8 \%)^2$$

然后第三年年末的￥4000，它的经历是

$$4000$$ $$4000 \times (1+8 \%)^1$$

所以

对于三年的结果是：

$$7000 \times (1+8 \%)^3+4000 \times(1+8 \%)^2+4000 \times(1+8 \%)^1 +4000 = 21803.584$$

对于四年的结果是：

$$7000 \times (1+8\%)^4 + 4000 \times(1+8 \%)^3 +4000 \times(1+8 \%)^2 +4000 \times(1+8 \%)^1 =23547.87072$$

两种方法

1. 考虑每一次投资的结尾
2. 考虑的是每一个资金的流动经历

在现金流的情况下计算现在价值

例题

2.2.1

对于$1000而言，它需要的是一年的时间，在该利率下的现值。也就是$$$\frac {1000}{(1+9 \%)^1}= 917.4311927$$ 对于$2000而言，它需要两年，在该利率下的现值，也就是$$$\frac {2000}{(1+9 \%)^2}=1683.359987$$ 所以总共的现值需要

$$917.4311927+1683.359987= 2600.791179$$

2.2.2

$$\frac {200}{(1+12 \%)^1}+\frac {400}{(1+12\%)^2}+\frac {600}{(1+12\%)^3}+ \frac {800}{(1+12\%)^4}=1432.931591$$

2.2.3

对于第一个问题：

$$\frac {5000}{(1+11 \%)^4}+\frac {5000}{(1+11 \%)^5}+\frac {5000}{(1+11 \%)^6}=8934.115691$$

对于第二个问题：

$$5000 \times (1+11\%)^2 + 5000 \times (1+11\%)^1+ 5000=16710.5$$

年金中的现值

例题

2.3.1

$$\frac {500}{(1+10 \%)^1}+\frac {500}{(1+10 \%)^2}+\frac {500}{(1+10 \%)^3}=1243.425995$$

年金现值公式

$$AnnuityPresentValue= Cost \times \frac {1-(1+Rate)^{-Time}}{Rate}$$

推导过程

$$\begin{align*} AnnuityPresentValue & = \frac {Cost}{(1+Rate)^1}+\frac {Cost}{(1+Rate)^2}+ \cdots +\frac {Cost}{(1+Rate)^{Time}}\\ & = Cost \times (\frac{1}{(1+Rate)^1}+\frac{1}{(1+Rate)^2}+\cdots+\frac{1}{(1+Rate)^{Time}})\\ & = Cost \times (\frac{\frac{1}{(1+Rate)}-\frac{1}{(1+Rate)^{Time+1}}}{1-\frac{1}{(1+Rate)}})\\ & = Cost \times \frac {1-(1+Rate)^{-Time}}{Rate} \end{align*}$$

例题

2.4.1

$$632 \times \frac {1-(1+1\%)^{-48}}{1\%}=23999.5424$$

2.4.2

$$\begin{align*} AnnuityPresentValue & = Cost \times \frac {1-(1+Rate)^{-Time}}{Rate}\\ 100000 & = Cost \times \frac {1-(1+18\%)^{-5}}{18\%}\\ Cost & = 100000 \times \frac {18\%}{1-(1+18\%)^{-5}}\\ Cost & = 31977.78418 \end{align*}$$

2.4.3

$$\begin{align*} 1000 & = 20 \times \frac{1-(1+1.5\%)^{-Time}}{1.5\%}\\ 1- 50 \times 1.5\% & = (1+1.5\%)^{-Time}\\ Time & = - \frac {lg(0.25)}{lg(1+1.5\%)}\\ Time & = 93.11105126 \end{align*}$$

大概是93个月，差不多是7年多快8年，所以不要提前预支

2.4.4

$$6710 = 1000 \times \frac {1-(1+Rate)^{-10}}{Rate}\\$$

解这个方程即可，记得答案要符合事实

年金终值公式

$$AnnuityFutureValue = Investment \times \frac {(1+Rate)^{Time}}{Rate}$$

推导过程

$$\begin{align*} AnnuityFutureValue & = Investment \times (1+Rate)^0 + Investment \times (1+Rate)^1 + \cdots + Investment \times (1+Rate)^{Time-1}\\ & = Investment \times ((1+Rate)^0+(1+Rate)^1 + \cdots +(1+Rate)^{Time-1})\\ & = Investment \times \frac{(1+Rate)^0-(1+Rate)^{Time}}{1-(1+Rate)}\\ & = Investment \times \frac {(1+Rate)^{Time}}{Rate} \end{align*}$$

例题

2.5.1

分析如下，就是每年投资2000美元，一共投资30年，最重要的是确定最后的那个投资是没有经过一年的，也就是最后得到的是2000美元，然后依次类推，往前看第一年投的2000，一共经历了29轮次的投资